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Skalarkrümmungsvoraussetzungen sind im Vergleich zu Voraussetzungen an die Schnittkrümmung oder die Riccikrümmung eigentlich recht schwach. So kann man z.B. aus einer unteren Skalarkrümmungsschranke keine Schranke an den Durchmesser herleiten, im Gegensatz zur Riccikrümmung. Dennoch gibt es einige sehr starke Starrheitsphänomene für Skalarkrümmung.  

Aus dem Satz von Gauß-Bonnet wissen wir, dass es auf dem $2$ Torus keine positiv gekrümmte Metrik gibt. Wie ist das in höheren Dimensionen? Es stellt sich heraus, dass jede Metrik mit $\mathrm{scal}\ge0$ auf $T^n$ flach sein muss. Kann man auf der Standard-Sphäre die Skalarkrümmung vergrößern ohne die Metrik zu verkleinern (z.B. durch eine Reskalierung)? Es stellt sich heraus, dass das nicht möglich ist.

Diese und ähnliche Fragen, die teilweise Gegenstand der aktuellen Forschung sind, werden wir untersuchen. Dabei konzentrieren wir uns methodisch auf den Zugang mittels Spingeometrie und Dirac-Operatoren.